《Surface Simplification Using Quadric Error Metrics》这篇论文介绍了一种网格简化的算法，通过“edge contraction”（边收缩）的方法来简化网格。边收缩的结果就是将两个顶点合成一个顶点，因此可以按照任意的顶点数目去简化网格。
假设有一个二次函数
Δ
(
v
)
=
v
T
Q
v
\Delta(\mathbf{v})=\mathbf{v}^T\mathbf{Q}\mathbf{v}
Δ(v)=vTQv 可以描述顶点
v
\mathbf{v}
v的“变形程度”，这篇论文的算法目的就是最小化总体的“变形程度”，即：
minimize
∑
v
v
T
Q
v
\text{minimize} \quad \sum_{\mathbf{v}} \mathbf{v}^T\mathbf{Q}\mathbf{v}
minimizev∑vTQv 但是由于直接最小化不太现实，因为顶点数目会发生改变，所以这篇论文的算法步骤是这样的：
对每个顶点计算其初始的
Q
\mathbf{Q}
Q，满足
v
T
Q
v
=
0
\mathbf{v}^T\mathbf{Q}\mathbf{v}=0
vTQv=0 ；保存所有合法的“点对”，包括所有的边对应的点对，以及距离小于一定阈值的顶点对；对于每个合法的点对（
v
1
,
v
2
\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2
v1,v2），生成合成的顶点
v
s
\mathbf{v}_s
vs，这一步边收缩的代价为
Δ
(
v
s
)
=
v
s
T
(
Q
1
+
Q
2
)
v
s
\Delta(\mathbf{v}_s)=\mathbf{v}_s^T(\mathbf{Q}_1+\mathbf{Q}_2)\mathbf{v}_s
Δ(vs)=vsT(Q1+Q2)vs，也就是新顶点的“变形程度”。这里合成顶点的方法有很多，可以是中点、其中一个顶点、或者最小化
Δ
(
v
s
)
\Delta(\mathbf{v}_s)
Δ(vs) 对应的顶点位置；重复选择
Δ
(
v
s
)
\Delta(\mathbf{v}_s)
Δ(vs) 最小的顶点对进行边收缩，然后更新mesh、相关顶点的
Q
\mathbf{Q}
Q、以及相关合成顶点的代价，直到目标顶点数目。可以用一定的数据结构来维护。
接下来我用我的理解来描述这个二次误差函数
Δ
(
v
)
=
v
T
Q
v
\Delta(\mathbf{v})=\mathbf{v}^T\mathbf{Q}\mathbf{v}
Δ(v)=vTQv 的构造过程：
首先我们用一种启发式的思想去思考，要如何度量一个mesh的微小变形的程度呢？
假如只有一个平面三角形，当它的一个顶点A有一个微小的偏移时，这个顶点相对于对边BC的距离h也会发生变化，因此可以用h来度量点A的“变形程度”，亦即
Δ
(
A
)
=
h
。
\Delta(A)=h 。
Δ(A)=h。 也许当A的位移平行于BC时，用h无法表示这样的变形，但是这只是一种思想，既考虑了简洁性，也考虑了在实际变形中大概率不会有这种特殊的变形。
类比到空间中的一个三角网格（triangular mesh），当一个顶点
v
\mathbf{v}
v发生轻微变形时，我们用点到面的距离去度量其“变形程度”，顶点已经给出了，那么“面”有哪些呢？我们先假定每个顶点都保存了一些用于度量的面
planes
(
v
)
\text{planes}(\mathbf{v})
planes(v)，在这种情况下，顶点
v
=
[
v
x
,
v
y
,
v
z
,
1
]
T
\mathbf{v}=[v_x,v_y,v_z,1]^T
v=[vx,vy,vz,1]T 的“变形程度”的度量可以写作
Δ
(
v
)
=
∑
p
∈
planes
(
v
)
(
p
T
v
)
2
,
\Delta(\mathbf{v})=\sum_{\mathbf{p}\in\text{planes}(\mathbf{v})} (\mathbf{p}^T \mathbf{v})^2 ,
Δ(v)=p∈planes(v)∑(pTv)2, 其中
p
=
[
a
,
b
,
c
,
d
]
T
\mathbf{p}=[a,b,c,d]^T
p=[a,b,c,d]T表示平面
a
x
+
b
y
+
c
z
+
d
=
0
ax+by+cz+d=0
ax+by+cz+d=0，其中
a
2
+
b
2
+
c
2
=
1
a^2+b^2+c^2=1
a2+b2+c2=1，这个单位化的限制就是告诉我们平面
p
\mathbf{p}
p的法向量就是
(
a
,
b
,
c
)
(a,b,c)
(a,b,c)，因此点到面的距离就是
p
T
v
\mathbf{p}^T\mathbf{v}
pTv ，高中时不是学过点到平面的距离公式吗，单位化后就不需要分母的那个法向量长度了。
现在回到"edge contraction"，在边收缩前我们有两个顶点
v
1
\mathbf{v}_1
v1和
v
2
\mathbf{v}_2
v2，收缩完之后变成了一个顶点
v
s
\mathbf{v}_s
vs，而与
v
s
\mathbf{v}_s
vs关联的面的集合就变成了
planes
(
v
s
)
=
planes
(
v
1
)
⋃
planes
(
v
2
)
\text{planes}(\mathbf{v}_s)=\text{planes}(\mathbf{v}_1) \bigcup \text{planes}(\mathbf{v}_2)
planes(vs)=planes(v1)⋃planes(v2) ，用集合的表示形式不太方便，因此我们写成矩阵的形式：
Δ
(
v
)
=
∑
(
p
T
v
)
2
=
v
T
(
∑
p
p
T
)
v
=
v
T
(
∑
Q
i
)
v
\Delta(\mathbf{v})=\sum (\mathbf{p}^T \mathbf{v})^2 = \mathbf{v}^T (\sum\mathbf{p}\mathbf{p}^T) \mathbf{v} = \mathbf{v}^T (\sum\mathbf{Q_i}) \mathbf{v}
Δ(v)=∑(pTv)2=vT(∑ppT)v=vT(∑Qi)v 就对应上之前算法里说的“变形程度”的度量公式了。所以前面讲到的保存每个顶点关联的面的集合，实际上就是保存这些面对应的矩阵之和，而边收缩的过程中，新的顶点需要保存的，就是旧的两个顶点保存的矩阵之和。
因此在算法中每个顶点保存的
Q
\mathbf{Q}
Q，初始化时就是将每个顶点相邻的面作为其关联的面，然后计算
Q
\mathbf{Q}
Q，在后续做边收缩时，只需要将收缩的两个顶点的
Q
\mathbf{Q}
Q相加即可。